はい、手続きは必要です。
学校で著作物のコピー(複製)を行う場合、以下6つの要件を全て満たしていれば、著作権者に手続きをすることなく利用できると、著作権法第35条1項に規定されていますが、コンクールの終了後、出演した生徒に合唱を収録したDVDを配布するのは「授業の過程においてコピーを使用する」という要件には当てはまらず、手続きが必要となります。
著作権法第35条1項の要件
1.営利を目的としない学校その他の教育機関である
2.授業を担任する教師やその授業を受ける生徒などがコピーする
3.授業の対象となる必要最小限の部分をコピーする
4.授業の過程においてコピーを使用する
5.既に公表されている著作物である
6.その著作物の種類・用途、複製の部数・態様などを考慮して、著作権者の利益を不当に害しない
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利用する音楽がJASRAC管理作品の場合の手続き方法は、こちらのページご案内しておりますので、ご参照ください。